$\mathsf{BH}$
$\mathsf{BPP}$
$\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$
$\mathsf{DisjCoNP}$
$\mathsf{DisjNP}$
$\mathsf{DisjNP}_T$
$\mathrm{EE \neq NEE}$
$\mathrm{EXP \neq NEXP}$
$\mathrm{E \neq NE}$
$\mathsf{ESY}$
$\mathsf{FewP}$
$\mathsf{FewP \cap coFewP}$
$\mathsf{KvL}$
$\mathrm{NEE \neq coNEE}$
$\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$
$\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$
$\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$
$\mathrm{NE \neq coNE}$
$\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$
$\mathsf{nonsymmetricNP}$
$\mathsf{\lnot Q}$
$\mathsf{\lnot Q'}$
$\mathsf{NPMV_t}$
$\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$
$\mathsf{NP \cap coNP}$
$\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$
$\mathsf{NP \cap SPARSE}$
$\mathrm{NP \neq coNP}$
$\mathrm{NP \neq PSPACE}$
$\mathrm{P\neq BPP}$
$\mathrm{P \neq NP}$
$\mathrm{P\neq PSPACE}$
$\mathrm{P\neq RP}$
$\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$
$\mathrm{P\neq UP}$
$\mathsf{PH}$
$\mathrm{PH\neq PSPACE}$
$\mathsf{p\text -insep. NP}$
$\mathsf{QBF}$
$\mathsf{QBF^N}$
$\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$
$\mathsf{RFN_1^N}$
$\mathsf{RP}$
$\mathrm{RP \neq NP}$
$\mathsf{SAT}$
$\mathsf{separationCoNP}$
$\mathsf{separationNP}$
$\mathsf{shrinkingNP}$
$\mathsf{TAUT}$
$\mathsf{{TAUT}^N}$
$\mathsf{TAUT \lor SAT}$
$\mathsf{TFNP}$
$\mathsf{Union}$
$\mathsf{UP}$
$\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$
$\mathsf{UP \cap coUP}$
$\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$
$\mathrm{UP\neq coUP}$
$\mathrm{UP\neq coNP}$
$\mathrm{UP\neq NP}$
$\Sigma_2 \neq \Pi_2$
$\mathrm{BH}$ does not contain $\leq_m^{p}$-complete problems.
The Boolean Hierarchy over $\mathrm{NP}$, $\mathrm{BH}$ contains the closure of $\mathrm{NP}$ under boolean operators, i.e. and, or and not. Therefore every problem in $\mathrm{BH}$ can be described by a hardware tree connecting $\mathrm{NP}$-Turing Machines with boolean operators [CGHHSWW89].
The boolen hierarchy $\mathrm{BH}$ is inductively defined as $\mathrm{BH=\bigcup_{0\leq k}BH_k}$ with $\mathrm{BH_0 = P}$, $\mathrm{BH_1 = NP}$, $\mathrm{BH_{2k} = coNP\land BH_{2k-1}}$ and $\mathrm{BH_{2k+1} = NP \lor BH_{2k}}$.
$\mathrm{BH}$ is included in $\Delta_2^p$ of the polynoimal-time hierarchy.
It is unclear if the boolean hierarchy is infinite, i.e. if all the aforementioned inclusions are proper. The conjecture is true if and only if the boolean hierarchy is infinite.
"$ \mathsf{BH} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{BH} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{PH}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{BH} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{BH} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{BH} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{BPP}$ does not contain $\leq_m^{p}$-complete problems.
A conjecture stated by Hartmanis and Hemachandra [HH88].
The abbreviation BPP stands for "bounded-error probabilistic polynomial-time" and the matching complexity class $\mathrm{BPP}$, defined by Gill [Gil77], is a prominent probabilistic complexity class which can be characterized by probabilistic polynomial time Turing Machines
accepting rightfully with a probability of at least $\frac 2 3$ and accepting wrongfully with a probability of at most $\frac 1 3$.
"$ \mathsf{BPP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{BPP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{BPP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{BPP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{BPP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{CLIQUE_1^2}$ does not have optimal proof systems.
The conjecture was studied by Egidy, Glaßer and Herold [EGH23], examining the existence of (p-)optimal proof systems within the boolean hierarchy.
They were able to determine three equivalence classes for the presence of (p-)optimal proof systems inside the hierarchy, respectively.
One of the equivalence classes can be represented by $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$.
$\mathrm{CLIQUE_1^2}$ is a natural $\leq_m^p$-complete problem for $\mathrm{coDP}=\mathrm{coBH_2}$ [Wag87].
The uniform version of this conjecture is equivalent to $\mathsf{TAUT \lor SAT}$ [EGH23].
"$ \mathsf{{CLIQUE_1^2}^N} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{{CLIQUE_1^2}^N} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{{CLIQUE_1^2}^N} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{{CLIQUE_1^2}^N} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{{CLIQUE_1^2}^N} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{DisjCoNP}$ does not contain $\leq_m^{pp}$-complete pairs.
One of the conjectures studied in the working program initiated by Pudlák [Pud17].
"$ \mathsf{DisjCoNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{DisjCoNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{DisjCoNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{DisjCoNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{DisjCoNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{DisjNP}$ does not contain $\leq_m^{pp}$-complete pairs.
The conjecture was raised by Razborov in the context of optimal proof systems for $\mathrm{TAUT}$ [Raz94].
One of the conjectures studied in the working program initiated by Pudlák [Pud17].
"$ \mathsf{DisjNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{DisjNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{DisjNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{DisjNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{DisjNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{DisjNP}$ does not contain $\leq_T^{pp}$-complete pairs.
"$ \mathsf{DisjNP}_T \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{DisjNP}_T $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}_T$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{DisjNP}_T \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{DisjNP}_T \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{DisjNP}_T \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{EE}$ does not equal $\mathrm{NEE}$.
"$ \mathrm{EE \neq NEE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{EE \neq NEE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{EE \neq NEE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{EE \neq NEE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{EE \neq NEE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{EXP}$ does not equal $\mathrm{NEXP}$.
"$ \mathrm{EXP \neq NEXP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{EXP \neq NEXP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{EXP \neq NEXP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{EXP \neq NEXP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{EXP \neq NEXP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{E}$ does not equal $\mathrm{NE}$.
"$ \mathrm{E \neq NE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{E \neq NE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{E \neq NE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{E \neq NE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{E \neq NE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
No disjoint $\mathrm{NP}$-pair is $\leq_T^p$-hard for $\mathrm{NP}$.
"$ \mathsf{ESY} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{ESY} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{ESY} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{ESY} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{Union}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{ESY} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{FewP}$ does not contain $\leq_m^{p}$-complete problems.
"$ \mathsf{FewP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{FewP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{FewP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{FewP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{FewP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{FewP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{FewP \cap coFew}$ does not contain $\leq_m^{p}$-complete problems.
"$ \mathsf{FewP \cap coFewP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{FewP \cap coFewP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{FewP \cap coFewP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{FewP \cap coFewP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{FewP \cap coFewP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{FewP \cap coFewP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NP}$-relations that are not $\leq_L^p$-complete for $\mathrm{FNP}$ but whose projections are $\leq_m^p$-complete for $\mathrm{NP}$ exist.
$\mathsf{KvL}$ stands for "Karp-vs-Lenin-Conjecture".
"$ \mathsf{KvL} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{\lnot Q}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{KvL} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{KvL}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{KvL} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{KvL} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{KvL} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NEE}$ does not equal $\mathrm{coNEE}$.
"$ \mathrm{NEE \neq coNEE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NEE \neq coNEE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NEE \neq coNEE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NEE \neq coNEE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NEE \neq coNEE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NEE \cap TALLY}$ is not a subset of $\mathrm{coNEE}$.
"$ \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NEE \cap TALLY}$ is not a subset of $\mathrm{EE}$.
"$ \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NEXP}$ does not equal $\mathrm{coNEXP}$.
"$ \mathrm{NEXP \neq coNEXP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NEXP \neq coNEXP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NEXP \neq coNEXP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NEXP \neq coNEXP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NEXP \neq coNEXP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NE}$ does not equal $\mathrm{coNE}$.
"$ \mathrm{NE \neq coNE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NE \neq coNE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NE \neq coNE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NE \neq coNE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NE \neq coNE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NE \cap coNE}$ does not equal $\mathrm{E}$.
"$ \mathrm{NE \cap coNE \neq E} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NE \cap coNE \neq E} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NE \cap coNE \neq E} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NE \cap coNE \neq E} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NE \cap coNE \neq E} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
Nonsymmetric disjoint NP pairs do not exist.
"$ \mathsf{nonsymmetricNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{nonsymmetricNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{nonsymmetricNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{nonsymmetricNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{nonsymmetricNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
The bits of an accepting path on any input for every total nondeterministic polynomial time turing machine cannot be computed in deterministic polynomial time.
"$ \mathsf{\lnot Q} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{\lnot Q}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{\lnot Q} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{\lnot Q} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{\lnot Q} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{\lnot Q'}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{\lnot Q} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
The first bit of an accepting path on any input for every total nondeterministic polynomial time turing machine cannot be computed in deterministic polynomial time.
"$ \mathsf{\lnot Q'} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{\lnot Q'} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{\lnot Q'} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{\lnot Q'} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{KvL}$, $\mathsf{QBF}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{\lnot Q'} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NPMV}_t$ does not contain complete functions.
One of the conjectures studied in the working program initiated by Pudlák [Pud17].
"$ \mathsf{NPMV_t} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{NPMV_t} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{TFNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{NPMV_t} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{NPMV_t} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{NPMV_t} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
Not every function in $\mathrm{NPMV_t}$ has a refinement in $\mathrm{TFNP}$.
"$ \mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{\lnot Q}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{KvL}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{\lnot Q'}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NP \cap coNP}$ does not contain $\leq_m^p$-complete problems.
One of the conjectures studied in the working program initiated by Pudlák [Pud17].
"$ \mathsf{NP \cap coNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{NP \cap coNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{NP \cap coNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{NP \cap coNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{NP \cap coNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{NP \cap coNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NP \cap coNP}$ does not equal $\mathrm P$.
"$ \mathrm{NP\cap coNP\neq P} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NP\cap coNP\neq P} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NP\cap coNP\neq P} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NP\cap coNP\neq P} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NP\cap coNP\neq P} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NP \cap SPARSE}$ does not contain $\leq_m^p$-complete problems.
"$ \mathsf{NP \cap SPARSE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{NP \cap SPARSE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{NP \cap SPARSE}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{NP \cap SPARSE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{NP \cap SPARSE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{NP \cap SPARSE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NP}$ does not equal $\mathrm{coNP}$.
"$ \mathrm{NP \neq coNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NP \neq coNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NP \neq coNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NP \neq coNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NP \neq coNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NP}$ does not equal $\mathrm{PSPACE}$.
"$ \mathrm{NP \neq PSPACE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{NP \neq PSPACE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{NP \neq PSPACE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{NP \neq PSPACE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{NP \neq PSPACE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{P}$ does not equal $\mathrm{BPP}$.
"$ \mathrm{P\neq BPP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{P\neq BPP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{RP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{P\neq BPP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{P\neq BPP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{P\neq BPP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{P}$ does not equal $\mathrm{NP}$.
"$ \mathrm{P \neq NP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{P \neq NP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{P \neq NP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{P \neq NP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{QBF}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{P \neq NP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{P}$ does not equal $\mathrm{PSPACE}$.
"$ \mathrm{P\neq PSPACE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P\neq PSPACE}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{P\neq PSPACE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{P\neq PSPACE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{P\neq PSPACE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{QBF}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{P\neq PSPACE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{P}$ does not equal $\mathrm{RP}$.
"$ \mathrm{P\neq RP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq RP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{P\neq RP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{RP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{P\neq RP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{P\neq RP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{P\neq RP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{P}$ does not equal $\mathrm{RP \cap coRP}$.
"$ \mathrm{P \neq RP \cap coRP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{P \neq RP \cap coRP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{P \neq RP \cap coRP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{P \neq RP \cap coRP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{P \neq RP \cap coRP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{P}$ does not equal $\mathrm{UP}$.
"$ \mathrm{P\neq UP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{P\neq UP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{P\neq UP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{P\neq UP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{P\neq UP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{PH}$ does not contain $\leq_m^{p}$-complete problems.
"$ \mathsf{PH} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{PH} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{PH}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{PH} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{PH} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{Union}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{PH} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{PH}$ does not equal $\mathrm{PSPACE}$.
It is clear, that $\mathrm{PH} \subseteq \mathrm{PSPACE}$. For the other inclusion, $\mathrm{PSPACE} \subseteq \mathrm{PH}$, no such result is known. Furthermore, $\mathrm{PH} \subseteq \mathrm{PSPACE}$ is a SPARSE-relativizing property.
"$ \mathrm{PH\neq PSPACE} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{PH\neq PSPACE} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{PH\neq PSPACE} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{PH\neq PSPACE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{PH\neq PSPACE} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
p-inseparable disjoint $\mathrm{NP}$-pairs exist.
"$ \mathsf{p\text -insep. NP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{p\text -insep. NP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{p\text -insep. NP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{p\text -insep. NP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{p\text -insep. NP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{QBF}$ does not have p-optimal proof systems.
"$ \mathsf{QBF} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{QBF} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{QBF} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{QBF} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{QBF} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{QBF}$ does not have optimal proof systems.
"$ \mathsf{QBF^N} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{QBF^N} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{QBF^N} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{QBF^N} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{QBF^N} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
There are no arbitrarily complex sets with optimal proof systems
Hypothesis Q2 from [EG25]
"$ \mathrm{RE}^{\mathrm{N}} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{RE}^{\mathrm{N}} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{RE}^{\mathrm{N}} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{RE}^{\mathrm{N}} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{RE}^{\mathrm{N}} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every finitely axiomizable theory $\mathrm S$ there exists a finitely axiomizable theory $\mathrm T$ such that the length of $\mathrm S$-proofs of the finite uniform $\Sigma_1^b$ reflexion principle for $T$ over $\mathrm n$ cannot be bounded by a polynomial in $\mathrm n$.
One of the conjectures studied in the working program initiated by Pudlák [Pud17].
"$ \mathsf{RFN_1^N} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{RFN_1^N} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{RFN_1^N} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{RFN_1^N} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{RFN_1^N} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{RP}$ does not contain $\leq_m^{p}$-complete problems.
"$ \mathsf{RP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{RP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{RP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{RP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{RP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{RP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{RP}$ does not equal $\mathrm{NP}$.
"$ \mathrm{RP \neq NP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{RP \neq NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{RP \neq NP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{RP \neq NP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{RP \neq NP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{RP \neq NP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
p-optimal proof systems for $\mathrm{SAT}$ do not exist.
One of the conjectures studied in the working program initiated by Pudlák [Pud17].
"$ \mathsf{SAT} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{\lnot Q}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{SAT} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TFNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{SAT} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{SAT} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{SAT} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{coNP}$ does not possess the separation property.
$\mathrm{coNP}$ possesses the separation property if for all disjoint $A,B\in\mathrm{coNP}$ there exists a $S\in\mathrm{coNP\cap NP}$ that separates $A$ and $B$, i.e. $A\subseteq S$ and $B\subseteq \bar S$ holds.
"$ \mathsf{separationCoNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{separationCoNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{separationCoNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{separationCoNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{separationCoNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{Union}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{separationCoNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NP}$ does not possess the separation property.
$\mathrm{NP}$ possesses the separation property if for all disjoint $A,B\in\mathrm{NP}$ there exists an $S\in\mathrm{NP\cap coNP}$ that separates $A$ and $B$, i.e. $A\subseteq S$ and $B\subseteq \bar S$ holds.
"$ \mathsf{separationNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{separationNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{separationNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{separationNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{separationNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{NP}$ does not possess the shrinking property.
$\mathrm{NP}$ possesses the shrinking property if for all $A,B\in \mathrm {NP}$ there exist disjoint sets $A',B'\in\mathrm{NP}$ such that $A'\subseteq A$, $B'\subseteq B$, and $A'\cup B' = A \cup B$.
The shrinking property may also be better known under the name reduction property.
"$ \mathsf{shrinkingNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{shrinkingNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{shrinkingNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{shrinkingNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{shrinkingNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{TAUT}$ does not have a p-optimal proof system.
Also prominently known under the name $\mathsf{CON}$.
One of the main conjectures included in the working program initiated by Pudlák [Pud17] besides $\mathsf{TFNP}$.
"$ \mathsf{TAUT} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{TAUT} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{TAUT} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{TAUT} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{TAUT} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{TAUT}$ does not have optimal proof system.
The conjecture was first raised by Krajícek and Pudlák [KP89].
One of the conjectures studied in the working program initiated by Pudlák [Pud17] where it is primarily refered to as $\mathsf{CON^N}$, using an equivalent proof complexity formulation of the hypothese.
"$ \mathsf{{TAUT}^N} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{{TAUT}^N} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{{TAUT}^N} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{{TAUT}^N} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{{TAUT}^N} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathsf{TAUT}$ holds or $\mathsf{SAT}$ holds.
Equivalent to $\mathrm{BH}$ has a p-optimal proof system [EGH23]
One of the conjectures studied in the working program initiated by Pudlák [Pud17].
"$ \mathsf{TAUT \lor SAT} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{TAUT \lor SAT} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{TAUT \lor SAT} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{TAUT \lor SAT} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{TAUT \lor SAT} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{TFNP}$ does not contain many-one complete problems.
The conjecture was formulated by Megiddo and Papadimitriou [MP91].
The abbreviation "TFNP" stands for "total function $\mathrm{NP}$" but is more commonly known under the name of "total NP search problems".
One of the main conjectures included in the working program initiated by Pudlák [Pud17] besides $\mathsf{TAUT}$.
"$ \mathsf{TFNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{TFNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{TFNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{TFNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{TFNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{TFNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
The union of disjoint $\leq_m^p$-complete sets for $\mathrm{NP}$ is $\leq_m^p$-complete.
Raised by Selman [Sel88] the hypotheses conjectures that the union of two disjoint m-complete problems for $\mathrm{NP}$ is also m-complete for $\mathrm{NP}$.
"$ \mathsf{Union} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{Union}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{Union} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{Union}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{Union} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{Union} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{Union} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{UP}$ does not contain $\leq_m^p$-complete problems.
A conjecture stated by Hartmanis and Hemachandra [HH88].
The abbreviation UP stands for "unambiguous $\mathrm P$".
And the matching complexity class $\mathrm{UP}$, defined by Valiant [Val76] is the class of all problems that can be accepted by a nondeterministic polynomial-time Turing Machine having at most one accepting path.
One of the conjectures studied in the working program initiated by Pudlák [Pud17].
"$ \mathsf{UP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{UP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{UP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{UP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{UP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{UP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{UP }$ is not a subset of $\mathrm{coNP}$.
"$ \mathrm{UP \not\subseteq coNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{UP \not\subseteq coNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{UP \not\subseteq coNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{UP \not\subseteq coNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{UP \not\subseteq coNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{UP\cap coUP}$ does not contain $\leq_m^p$-complete problems.
"$ \mathsf{UP \cap coUP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathsf{UP \cap coUP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{UP \cap coUP}$ $\} $.
Whether "$ \mathsf{UP \cap coUP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{UP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathsf{UP \cap coUP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathsf{UP \cap coUP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{UP\cap coUP}$ does not equal $\mathrm{P}$.
It is clear that $\mathrm{UP\cap coUP \subseteq P}$ since $\mathrm{P}$ is closed under complement and every problem accepted by a deterministic polynomial-time Turing Machine can also be accepted by a nondeterministic polynomial-time Turing Machine having at most one accepting path. On the other hand, it is unknown whether or not $\mathrm{UP\cap coUP \subseteq P}$ holds.
"$ \mathrm{UP \cap coUP \neq P} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{UP \cap coUP \neq P} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{UP \cap coUP \neq P} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{UP \cap coUP \neq P} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{UP \cap coUP \neq P} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{UP}$ does not equal $\mathrm{coUP}$.
Similar to $\mathrm{NP}$ it is unknown whether or not $\mathrm{UP}$ is closed under complement.
"$ \mathrm{UP\neq coUP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{UP\neq coUP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{UP\neq coUP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{UP\neq coUP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{UP\neq coUP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{UP\neq coUP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{UP}$ does not equal $\mathrm{coNP}$.
This conjecture is equivalent to the conjecture that $\mathrm{coNP}\not\subseteq\mathrm{UP}$.
"$ \mathrm{UP\neq coNP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{UP\neq coNP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{UP\neq coNP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{UP\neq coNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{QBF}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{UP\neq coNP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\mathrm{UP}$ does not equal $\mathrm{NP}$.
It is clear, that $\mathrm{UP}\subseteq\mathrm{NP}$ since every problem that can be accepted by a nondeterministic polynomial-time Turing Machine having at most one accepting path can also be accepted by a nondeterministic polynomial-time Turing Machine with no further restrictions. For the other inclusion, $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{UP}$, no such result is known.
"$ \mathrm{UP\neq NP} \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \mathrm{UP\neq NP} $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$ $\} $.
Whether "$ \mathrm{UP\neq NP} \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{ESY}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \mathrm{UP\neq NP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \mathrm{UP\neq NP} \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
$\Sigma_2$ does not equal $\Pi_2$
Generalization of the $\mathrm{P \neq NP}$ Hypothesis
"$ \Sigma_2 \neq \Pi_2 \Rightarrow X$" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathrm{NP \neq PSPACE}$, $\mathrm{NP \neq coNP}$, $\mathrm{P \neq NP}$, $\mathrm{P\neq PSPACE}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$, $\mathrm{UP\neq coNP}$ $\} $.
"$X \Rightarrow \Sigma_2 \neq \Pi_2 $" holds for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{PH}$, $\Sigma_2 \neq \Pi_2$ $\} $.
Whether "$ \Sigma_2 \neq \Pi_2 \Rightarrow X$" holds is unknown for every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathsf{RP}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BPP}$, $\mathsf{DisjCoNP}$, $\mathsf{DisjNP}$, $\mathsf{DisjNP}_T$, $\mathsf{FewP}$, $\mathsf{FewP \cap coFewP}$, $\mathsf{KvL}$, $\mathrm{NE \cap coNE \neq E}$, $\mathsf{NPMV_t}$, $\mathrm{NPMV_t\not\subseteq_c TFNP}$, $\mathsf{NP \cap SPARSE}$, $\mathsf{NP \cap coNP}$, $\mathrm{NP\cap coNP\neq P}$, $\mathrm{P\neq BPP}$, $\mathrm{P\neq RP}$, $\mathrm{P \neq RP \cap coRP}$, $\mathrm{P\neq UP}$, $\mathsf{PH}$, $\mathrm{RE}^{\mathrm{N}}$, $\mathsf{RP}$, $\mathsf{SAT}$, $\mathsf{TAUT}$, $\mathsf{{TAUT}^N}$, $\mathsf{TFNP}$, $\mathsf{UP}$, $\mathrm{UP\neq coUP}$, $\mathrm{UP \not\subseteq coNP}$, $\mathsf{UP \cap coUP}$, $\mathrm{UP \cap coUP \neq P}$, $\mathsf{nonsymmetricNP}$, $\mathsf{\lnot Q}$, $\mathsf{\lnot Q'}$, $\mathsf{p\text -insep. NP}$, $\mathsf{separationCoNP}$, $\mathsf{separationNP}$ $\}$ there exists an oracle $O$ so that "$ \Sigma_2 \neq \Pi_2 \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.
For every conjecture $X \in \{$ $\mathsf{BH}$, $\mathsf{{CLIQUE_1^2}^N}$, $\mathrm{E \neq NE}$, $\mathrm{EE \neq NEE}$, $\mathsf{ESY}$, $\mathrm{EXP \neq NEXP}$, $\mathrm{NE \neq coNE}$, $\mathrm{NEE \neq coNEE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq EE}$, $\mathrm{NEE \cap TALLY \not\subseteq coNEE}$, $\mathrm{NEXP \neq coNEXP}$, $\mathrm{PH\neq PSPACE}$, $\mathsf{QBF}$, $\mathsf{QBF^N}$, $\mathsf{RFN_1^N}$, $\mathrm{RP \neq NP}$, $\mathsf{TAUT \lor SAT}$, $\mathrm{UP\neq NP}$, $\mathsf{Union}$, $\mathsf{shrinkingNP}$ $\}$ there exists no oracle $O$ in the oracle zoo so that "$ \Sigma_2 \neq \Pi_2 \not\Rightarrow X$" holds relative to $O$.